문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라그랑주 역학 (문단 편집) == 오일러-라그랑주 방정식 == [include(틀:다른 뜻1, other1=변분법에서의 방정식 자체, rd1=오일러 방정식)] 우선, 어떤 물리량 [math(a)]의 시간 미분을 다음과 같이 표기하기로 약속하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{{\rm d}a}{{\rm d}t} \equiv \dot{a} )] }}} 즉, 시간 미분 연산자 [math({\rm d}/{\rm d}t)]를 점([math( \dot{\square})])으로 나타낸 것이다. 같은 논법으로, 시간에 대한 이계도함수는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{{\rm d}^2a}{{\rm d}t^2} \equiv \ddot{a} )] }}} 물체의 위치에 대해 [math(x_{i})]축의 좌표를 [math(x_{i})][* 이를테면, 3차원의 직교 좌표계를 고려하자. 이 경우엔 일반적으로 위치의 좌표를 [math(x, \, y,\,z)]로 나타낼 수 있다. 그러나 이것을 [math(x_{1}\equiv x,\,x_{2}\equiv y, x_{3}\equiv z)]로 쓰자는 것이다.]로 나타낼 것이며, 이것의 미분은 각 축에 대한 속도의 성분이 된다. 이때, 퍼텐셜 에너지는 위치에 대한 함수이므로 [math(U(x_{i}))]로 놓을 수 있고, 운동 에너지는 곧 이 위치의 시간 미분인 속도의 함수가 되므로 [math(T(\dot{x}_{i}))]가 된다. 따라서 라그랑지언은 이들의 선형 결합이므로 [math(x_{i})], [math(\dot{x}_{i})]의 함수이고, 라그랑지언이 속도와 위치의 함수라는 것을 명확히 해서 해밀턴의 원리를 다시 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \delta \int_{ t_1 }^{ t_2 }{ L(x_{i},\,\dot{x}_{i})\, {\rm d}t} = 0 )] }}} 따라서 위의 해밀턴의 원리를 풀면 물체의 운동을 완벽히 설명할 수 있다. 고맙게도 위 방정식을 푸는 방법은 수학자들이 이미 다 연구해 놓았기 때문에 우리는 이걸 풀려고 노력할 필요가 없다. 놀랍게도 이 식은 [[변분법#s-4.1|다변수 함수의 오일러 방정식]]과 완전히 똑같은 꼴이다. 이 식의 해는 다음 방정식의 해와 같음이 알려져 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x_{i}}-\frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}=0 )] }}} 위 식이 바로, 입자의 오일러-라그랑주 방정식이며, 도출 과정은 해당 문서나, [[변분법]] 문서를 참조하라. 이 방정식은 라그랑주 역학의 핵심이라고 할 수 있으며, 뉴턴 역학으로 따지면 [math( \mathbf{F} = m \mathbf{a} )]의 역할을 하는 아주 중요한 식이다. 만약 계가 [math( n )]개의 입자로 이루어져 있다면, 3차원에서 각 입자마다 좌표 3개씩 총 [math( 3n )]개의 좌표가 필요할 것이다. 입자 [math( n )]개 중 [math( \alpha )]번째 입자의 [math( i )]번째 좌표를 [math( x_{\alpha,\, i} )]라고 하자. 예를 들어 3번째 입자의 [math( y )]좌표는 [math(x_{3,\,2} )]이다. 그러면 계의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같은 [math( 3n )]개의 연립방정식이 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x_{\alpha i}}-\frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{\alpha i}}=0 \quad (\alpha=1,\,2,\,3,\,\cdots,\,n ; \, i=1,\,2,\,3) )] }}} 이러한 패러다임에 따라 역학 문제를 해석하는 방법을 라그랑주 역학이라고 부른다. 실제로 이 식은 뉴턴 역학과 같은 결과를 준다. 예를 들어 용수철에 매달려서 1차원 운동하는 입자를 생각해 보자. 이 입자는 [math(x)]만을 이용하여, 위치를 기술할 수 있으므로, 입자의 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} U&=\frac{1}{2}kx^{2} \\ T&=\frac{1}{2}m \dot{x}^{2} \end{aligned} )] }}} 따라서 이 계의 라그랑지언은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} L&=T-U \\ &=\frac{1}{2}m \dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2} \end{aligned} )] }}} 이고, 이 라그랑지언을 오일러-라그랑주 방정식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x}-\frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=0 )] }}} 에 대입하면, 운동 방정식은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle m \ddot{x} =-kx )] }}} 이것은 뉴턴 역학의 결과와 완전히 일치한다. 오일러-라그랑주 방정식을 풀 때 유념할 점이 하나 있다. 기존 편미분에서는 [math( x )]를 [math( \dot{x} )]로 편미분할 때의 값은 자명하게 0이라고 할 수 없다. 그러나 특별히 라그랑지안을 적용하는 오일러-라그랑주 방정식에서는 이것이 0이다. 즉, 시간에 대한 도함수 꼴로 관련이 있는 변수여도 모양이 다르면 아예 다른 변수로 가정하여 문제를 해결한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기